Четность

1. Доказать: сумма

• а) любого количества четных слагаемых четна;
  б) четного количества нечетных слагаемых нечетна;
  в) нечетного количества нечетных слагаемых нечетна.

2. Доказать : произведение

• а) двух нечетных чисел нечетно;
  б) четного числа с любым целым числом четно.

3. Существует ли

• а) 6-уголъник;
  б) 7-угольник,

для которого найдется прямая, пересекающая каждую из его сторон?

4. Шахматный конь вышел с поля a1 и через несколько ходов на него вернулся. Доказать, что он сделал четное число ходов.

5. На доске написаны числа

• а) 1, 2. 3, ..., 1997, 1998;
  6) 1, 2, 3, ..., 1998, 1999;
  в) 1, 2, 3, ..., 1999, 2000.

Разрешается стереть с доски любые два числа, заменив их разностью большего и меньшего. Можно ли, выполнив эту операцию много раз. получить на доске единственное число - 0? Если да, то как это сделать?

6. На шахматной доске расставлено 8 ладей, не бьющих друг друга. Доказать, что на черных полях стоит четное число ладей.

7. На прямой даны точки А, В и, кроме того, 57 точек, лежащих вне отрезка АВ. Каждая из этих 57 точек - либо красного, либо синего цвета. Рассмотрим следующие суммы:

S₁ - сумма расстояний от точки А до всех красных точек плюс сумма расстояний от точки В до всех синих точек.

S₂ - сумма расстояний от точки А до всех синих точек плюс сумма расстояний от точки В до всех красных точек.

Доказать, что S₁ не равно S₂.═

Список занятий этого года.

Задачи по классам и годам.

Задачи по темам.

На главную страницу ВМШ.